Senin, 31 Oktober 2011

PERKALIAN TITIK (DOT PRODUCT)

PERKALIAN TITIK (DOT PRODUCT)


Vektor bukan bilangan biasa, sehingga perkalian biasa tidak bisa langsung digunkan pada vektor, Kita harus menggunakan perkalian vektor. Perkalian vektor terdiri dari 2 jenis yaitu perkalian titik dan perkalian silang perkalian titik disebut juga perkalian skalar karena menghasilkan besaran skalar. Perkalian silang disebut juga perkalian vektor karena perkalian tersebut menghasilkan besaran vektor.

Misalkan terdapat dua vektor yakni A dan B. perkalian skalar dari vektor A dan B dinyatakan dengan A.B ( karena digunakan notasi titik maka perkalian ini dinamakan perkalian titik ). Perkalian vektor dari A dan B dinyatakan dengan a x B. karena diguakan notasi x, maka perkalian ini disebut perkalian silang.

PERKALIAN TITIK

Misalnya diketahui vektor A dan B sebagaima tampak pada gambar dibawah ini. Perkalian tiik antara vektor A dan B dituliskan sebagai A.B ( A titik B )

Untuk mendefinisikan perkalian titik dari vektor A dan B ( A.B ) digambarkan vektor A dan vektor B yang membentuk sudut teta ( sambil lihat gambar di bawah ). Selanjutnya kita gambarkan proyeksi dari vektor B terhadap arah vektor A. Proyeksi ini adalah komponen dari vektor B yang sejajar dengan vektor A, yang besarnya sama dengan B cos teta.

Dengan demikian, kita definisikan A.B sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen Vektor yang sejajar dengan A. Secara matematid dapat kita tulis sebagai berikut :

A.B = AB

AB cos teta merupakan bilangan biasa (skalar). Karenanya perkalian titik disebut juga perkalian skalar. Bagaiaman jika perkalian titik vektor A dan B dibalik menjadi B.A ? sebelum kita definisikan B.A terlebih dahulu kita gamabrkan proyeksi dari vektor A terhadap vektor B

Berdasarkan gambar ini, kita dapat mendefinisikan B.A sebagai besar vektor B yang dikalikan dengan komponen vektor A yang sejajar dengan B. Secara matematis dapat kita tulis sebagai berikut.

B.A = B.A

Hasil perkalian titik A.B=AB cos teta dan hasil perkalian titik B.A=BA cos teta. Karena AB cos teta = BA cos teta, maka berlaku A.B=B.A

Beberapa hal dalam perkalian titik yang perlu anda ketahui :

1. Perkalian titik memnuhi hukum komulatif

A.B = B.A

2. Perkalian titik memenuhi hukum distributif

A.(B+C)=A.B + A.C

3. Jika vektor A dan B saling tegak lurus, maka hasil perkalian titik A.B=0

4. Jika vektor A da Vektor B searah, Maka A.B = AB = BA

5. Syarat lain dari dua vektor yang searah, jika A=B maka diperoleh A.A= atau B.B =

6. Jika Vektor A dan B berlawanan arah ( ketika dua vektor berlawanan arah maka sudut yang dibentuk adalah ) maka hasil perkalian A.B dan AB cos = AB(-1) = -AB

v Perkalian titik dua bah vektor akan menghasilkan sebuah sklar. Jenis perkalian ini bersifat kamutatif.

. = ( + + ) . ( + + )

= + +

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik yaitu.

. = 1

. = 1

. = 1

Dan

. = . = 0

. = . = 0

. = 0

Definisi 1 :

Misalkan a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 ,b2 ,b3 ) adalah vector di R3. Perkalian titik a dan b, dinotasikan a . b adalah

a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3

jika di R2 adalah

a . b = a1b1 + a2b2


CONTOH 1 :

1. Tentukan a . b jika a = (2, -1, 3) dan b = (1, 3, 5) adalah vector di R3!

2. Tentukan a . b jika a = ( i , 3j , -k ) dan b = ( 7i , j , 9k ) adalah vector di R3!

3. Sebuah vektor A memiliki besar 4 satuan dan Vektor B memiliki 3 satuan. Tentukan hasil perkalian titik dari kedua vektor jika sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah

4. Buktikan bahwa (A+B).(C+D) = A.C+A.D+B.C+B.D

5. Hitunglah masing-masing soal berikut ini !

a. i.i =

b. i.k =

c. k.j =

d. j.(2i-3j+k) =

e. (2i-j).(3i+k) =

PEMBAHASAN :

1. a . b = ( 2, -1 ,3) . ( 1 ,3, 5) = 2 – 3 + 15 = 14

2. a . b = ( i , 3j , -k ) . ( 7i , j ,9k ) = 7 + 3 – 9 = 1

3. Karena A.B = B.A maka kita bisa memilih menggunakan salah satu. Misalnya kita menggunakan A.B denga demikian kita tulis persamaannya

A.B = AB cos teta

Besar A = 4 dan Besar B = 3 Satuan

a.

A.B=AB cos = (4)(3)(0,5) = 6 satuan

b.

A.B=AB cos = (4)(3)(0) = 0 satuan

c.

A.B=AB cos = (4)(3)(-1) = -12 satuan

4. (A+B).(C+D) = A.C+A.D+B.C+B.D

( A+B).(C.D) = A.(C+D) + B.(C+D) = A.C+A.D+B.C+B.D

Jadi hikim-hukum hasil kali biasa dari aljabar berlaku untuk hasil kali titik

5.

a. i.i = . cos = (1)(1)(1) = 1

b. i.k = . cos = (1)(1)(0) = 0

c. k.j = . cos = (1)(1)(0) = 0

d. j.(2i-3j+k) = 2j.i - 3j.j + j.k = 0-3 + 0 = -3

e. (2i-j).(3i+k) = 2i.(3i+k) - j.(3i+k) = 6i.i + 2i.k – 3j.i – j.k = 6 + 0 - 0 – 0 = 6

Reaksi:

0 komentar:

Poskan Komentar

Twitter Delicious Facebook Digg Stumbleupon Favorites More

 
Design by Free WordPress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Themes | Hosted Desktops